Formeln
Mit dieser Formel werden die klassischen Mandelbrot- und Juliamengen berechnet:

zn+1=zn2+c (mit z, c Element der komplexen Zahlen)

Mandelbrotmenge  Juliamenge

Das "Problem" hierbei ist, das z und c Element C sind und nicht alle Programmiersprachen einfach so mit komplexen Zahlen umgehen können. Also vereinfacht man die Formel und trennt den Imaginär-Teil vom Real-Teil. Wie das geht ist im Folgenden dargestellt:

aus Z wird a+bi , a ist real und bi ist imaginär
aus C wird c+di , c ist real und di ist imaginär

(a+bi)n+1=(a+bi)n2+c+di | Binome auflösen

an+1+bin+1=an2+2anbin+bin2+c+di
| mit i=Wurzel aus -1 und mit i2=-1

an+1+bin+1=an2+2anbin-bn2+c+di
| imaginären Teil vom realen Teil trennen

an+1=an2-bn2+c
bin+1=2anbin+di
| ohne Iteration:

a=a2-b2+c
b=2ab+d
<= Ergebnis
Mit einer anderen Formel kann z.B. eine Variation der Mandelbrotmengen berechnet werden:

zn+1=zn4+c (mit z, c Element der komplexen Zahlen)

Variation der Mandelbrotmenge

Auch für diese "komplexe" Formel soll die Trennung von Real-Teil und Imaginär-Teil noch einmal demonstriert werden:

aus Z wird a+bi , a ist real und bi ist imaginär
aus C wird c+di , c ist real und di ist imaginär

(a+bi)n+1=(a+bi)n4+c+di | Binome auflösen

an+1+bin+1=an4+4an3bin+6an2bin2+4anbin3+bin4+c+di
| mit i=Wurzel aus -1 und mit i2=-1

an+1+bin+1=an4+4an3bin-6an2bn2-4anbn3i+bn4+c+di
| imaginären Teil vom realen Teil trennen

an+1=an4-6an2bn2+bn4+c
bin+1=4an3bin-4anbn3i+di
| ohne Iteration:

a=a4-6a2b2+b4+c
b=4a3b-4ab3+d
| Termumformung

a=a4-6a2b2+b4+c
b=4ab(a2-b2)+d
<= Ergebnis
Die Bewegung des Systems "Wasserrad" kann vollständig durch folgendes Gleichungssystem mit 3 Variablen beschrieben werden:

dx/dt =10(y-x);
dy/dt =-xz+28x-y;
dz/dt =xy-(8/3)z
Lorenzattraktor